How to find the vertical asymptotes of a rational function

2023 Author: Sybil Carroll | [email protected]. Last modified: 2023-05-21 06:08

Rational functions are mathematical functions (equations) that show the relationship between two polynomials. This means that there is always some kind of fraction with more than just the coefficients. Therefore, y = 1 / 2x + 2 { displaystyle y = 1 / 2x + 2}

no es una función racional porque la única fracción es un término de coeficiente. Sin embargo, y=3x−1x2+2x+1{displaystyle y={frac {3x-1}{x^{2}+2x+1}}}

es una fracción racional. Las asíntotas verticales son una representación de los valores que no son una solución a la ecuación, pero que ayudan a definir el gráfico de soluciones.

Pasos

Parte 1 de 2: Encontrar asíntotas verticales

Step 1. Factor the denominator of the function

To simplify the function, you must first factor the denominator down as much as possible. For the purposes of finding the asymptotes, you can ignore the numerators.

• For example, suppose you have the function x − 25x2 + 5x { displaystyle { frac {x-2} {5x ^ {2} + 5x}}}

  . El denominador 5x2+5x{displaystyle 5x^{2}+5x}

  se puede factorizar en dos términos (5x)(x+1){displaystyle (5x)(x+1)}

• Otro ejemplo: toma la función y=3x+1x2+2x+1{displaystyle y={frac {3x+1}{x^{2}+2x+1}}}

. Aquí el denominador se puede reconocer como una simple función cuadrática, la cual se puede factorizar en (x+1)(x+1){displaystyle (x+1)(x+1)}

• Ten presente que algunas funciones del denominador no se pueden factorizar. Por ejemplo, en la ecuación y=x2−2x2+3x−1{displaystyle y={frac {x^{2}-2}{x^{2}+3x-1}}}

la función del denominador, x2+3x−1{displaystyle x^{2}+3x-1}

, no se puede factorizar. En este primer paso solo hay que dejarla como está.

• Si necesitas repasar la factorización de funciones, consulta este wikiHow sobre factorización de ecuaciones algebraicas o este otro sobre factorización de ecuaciones cuadráticas.

Step 2. Find the values for which the denominator equals 0

Still paying attention to the numerator of the function, set the factored denominator equal to zero and solve the equation to find the value of x. Remember that factors are multiplying terms, so you can solve the problem by equating any of the factors to 0. You can find one or more solutions depending on the number of factors that exist.

• For example, if after factoring the denominator function you get (5x) (x + 1) { displaystyle (5x) (x + 1)}

  , entonces puedes igualarlo a 0 así: (5x)(x+1)=0{displaystyle (5x)(x+1)=0}

  . Las soluciones serán todos los valores de x para los cuales esto sea verdadero. Para encontrar estos valores, deberás igualar a 0 cada uno de los factores individuales. Así obtendrás dos problemas menores: 5x=0{displaystyle 5x=0}

  y x+1=0{displaystyle x+1=0}

  . La primera solución es x=0{displaystyle x=0}

  y la segunda x=−1{displaystyle x=-1}

• Como segundo ejemplo, imagina que tienes el denominador x2+5x+6{displaystyle x^{2}+5x+6}

. Esto se puede factorizar en dos términos: (x+3)(x+2){displaystyle (x+3)(x+2)}

. Al igualar cada factor a 0 obtendrás x+3=0{displaystyle x+3=0}

y x+2=0{displaystyle x+2=0}

. Por consiguiente, las soluciones al problema serán x=−3{displaystyle x=-3}

y x=−2{displaystyle x=-2}

Step 3. Learn to interpret the solutions

The work you have done so far consists of identifying the values of x for which the denominator of the function is equal to 0. Keep in mind that a rational function is a long division problem in which the value of the numerator is divided by the denominator value. Since division by 0 is an indeterminacy, any value of x for which the denominator equals 0 represents a vertical asymptote for the entire function.

Part 2 of 2: Graphing Vertical Asymptotes

Step 1. Review the meaning of graph

The graph of a function is a visual representation of the values of x { displaystyle x}

y y{displaystyle y}

que son soluciones a una ecuación dada. El gráfico puede consistir en puntos individuales, una línea recta, una línea curva o incluso algunas figuras cerradas como un círculo o una elipse. Cualquier punto que coincida con la línea podría ser una solución a la ecuación.

• Por ejemplo, y=2x{displaystyle y=2x}

que una ecuación simple, tendrá infinitas soluciones. Expresadas como pares de (x, y), algunas de esas posibles soluciones son (1, 2), (2, 4), (3, 6) o cualquier par de números en los cuales el segundo de ellos sea el doble del primero. Al representar estos puntos en el plano de coordenadas x, y se formará una línea recta continua similar a una diagonal que va hacia arriba de izquierda a derecha. Para ver más ejemplos de tipos de gráficos puedes consultar este wikiHow.

• Una ecuación cuadrática es aquella que tiene un exponente de 2 como, por ejemplo, y=x2+2x−1{displaystyle y=x^{2}+2x-1}

. Algunos ejemplos de soluciones serían (-1, -2), (0, -1), (1, 1) y (2, 7). Si graficas estos puntos (y otros) obtendrás el gráfico de una parábola, que es una curva en forma de U. Si quieres repasar este tipo de gráficos, puedes consultar este wikiHow.

• Si necesitas más ayuda para aprender a graficar funciones, lee este wikiHow sobre funciones en general o este otro sobre funciones racionales.

Step 2. Identify the asymptotes

An asymptote is a straight line that is generally used as a kind of limit for the graph of a function. An asymptote can be vertical, horizontal, or any angle. Represents values that are not solutions to the equation, but could be a limit to the solutions.

• For example, suppose you have the equation y = 1x { displaystyle y = { frac {1} {x}}}

  . Si comienzas por el valor x=3 y te desplazas hacia abajo para seleccionar algunas soluciones para esta ecuación, obtendrás (3, 1/3), (2, 1/2) y (1, 1). Si sigues desplazándote hacia abajo, el próximo valor para x sería 0, pero así crearías la fracción y=1/0. Debido a que la división entre 0 es una indeterminación, no puede ser una solución a esta función. Por lo tanto, el valor x=0 es una asíntota vertical para esta ecuación.

Step 3. Graph the vertical asymptotes with a dotted line

By convention, when you draw the solution to a function and that function has a vertical asymptote, you have to graph it by drawing a dotted line at the corresponding value. In the case of y = 1x { displaystyle y = { frac {1} {x}}}

, deberás hacer una línea vertical punteada en x=0.