A matrix in its echelon form is a very useful tool with many applications, for example, interpreting different vectors geometrically, solving systems of linear equations, and finding various properties such as the determinant of the matrix.
Steps
Step 1. Learn what echelon form is
The echelon form is one in which the first data (other than zero) in each row has only zeros under it. These inputs are known as pivots, and an analysis of the relationship between pivots and their locations in a matrix can tell a lot about the matrix. Below you will see an example of a matrix in echelon form.
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(112013005) { displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 5 \ end {pmatrix}}}
paso 2. aprende a realizar las principales operaciones con filas
existen tres operaciones que puedes hacer con las filas de una matriz.
- intercambio de filas
- multiplicación escalar (puedes reemplazar una fila por cualquier múltiplo escalar de dicha fila que no sea cero)
- suma de filas (puedes reemplazar una fila por sí misma más el múltiplo de otra)
paso 3. empieza por escribir la matriz que vas a reducir a la forma escalonada
- (112123345){displaystyle {begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix}}}
paso 4. identifica el primer pivote de la matriz
los pivotes son esenciales para comprender el proceso de reducción de filas. cuando reduces una matriz a la forma escalonada, los datos que están debajo de los pivotes deben ser siempre ceros.
- en el caso de esta matriz, el primer pivote es simplemente el dato de la esquina superior izquierda. en general, esto será así salvo que ese dato sea cero. en ese caso, deberás intercambiar las filas hasta que el dato de la esquina superior izquierdo sea distinto de cero.
- dada la naturaleza de estas matrices, solo puede haber un pivote por columna y por fila. al seleccionar el dato de la esquina superior izquierda como primer pivote, ninguno de los otros datos de esa fila o columna puede convertirse en pivote.
paso 5. realiza operaciones con las filas de la matriz hasta obtener ceros debajo del primer pivote
- en la matriz, el objetivo es que los datos que están debajo del primer pivote sean ceros. reemplaza la segunda fila por sí misma menos la primera fila. reemplaza la tercera fila por sí misma menos la primera fila por tres. estas reducciones de fila se pueden expresar en forma abreviada como r2→r2−r1{displaystyle r_{2}\to r_{2}-r_{1}}
- (11201101−1){displaystyle {begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}}
y r3→r3−3r1.{displaystyle r_{3}\to r_{3}-3r_{1}.}
paso 6. identifica el segundo pivote de la matriz
el segundo pivote puede ser el dato del medio o el dato central inferior de la matriz, pero no el central superior porque esa fila ya contiene un pivote. en este caso se seleccionará el dato del medio como segundo pivote, pero recuerda que también podrías seleccionar el inferior central.
paso 7. realiza operaciones con las filas de la matriz hasta obtener ceros debajo del segundo pivote
- r3→r3−r2{displaystyle r_{3}\to r_{3}-r_{2}}
- (11201100−2){displaystyle {begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\0&0&-2\end{pmatrix}}}
- esta matriz ahora está en la forma escalonada.